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Fragestellung:
Ein Kubikdezimeter Granit (10x10x10cm), spezifisches Gewicht 2.5 , rotiert an einem virtuellen Stahlseil mit Erdradius 6378 km um die virtuelle Erdachse mit der Erdumlaufgeschwindigkeit. Auf der Gegenseite rotiert ein identischer Granitblock als Gegengewicht mit der gleichen Umlaufgeschwindigkeit und mit Erdradius 6378 km.
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1. Wie gross ist die Fliehkraft in kg auf diesen kleinen Granitblock? 2.
Wie schwer wiegt der rotierende Granitblock in kg? |
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4.
Wie
gross ist die Fliehkraft in 1'000 kg eines Granitblocks mit den Massen
1m x 1m x 30'000m Länge (30km)? Das
entspricht ca. der Dicke der Erdkruste.
Spez. Gewicht 2.5 / äusserer Radius
6378km / innerer Radius 6348 km
Der Granitblock rotiert in einem
virtuellen, quadratischen Stahlrohr um die
virtuelle Erdachse mit der bekannten
Erdumlaufgeschwindigkeit.
5. Wie schwer ist der ruhende Granitblock in 1'000kg oder in Tonnen t ?
Antworten:
Masse des Granitblockes: m=2.5*kg/l*V
m=2.5*(kg/dm³)*1dm³
m=2.5kg
Erdumfang: U=2*pi*r
U=2*3.1416*6'378km
U=40'074km
U=40'074'000m
Erdumlaufgeschwindigkeit: v=U/T
v=40'074'000m/24h
v=40'074'000m/86'400s
v=463.82m/s
1) Fliehkraft des rotierenden Granitblockes:
F=m*v²/r
F=2.5kg*(463.82m/s)²/6'378km
F=2.5kg*(463.82m/s)²/6'378'000m
F=0.843N
Die Fliehkraft, die auf den rotierenden Granitblock wirkt beträgt 0.843N.
Diese Kraft entspricht der Gravitationskraft die auf einen am Äquator ruhenden Körper
wirkt, welcher die Masse m=0,0859 kg besitzt.
Rechnung: m=0.843N/(9.81N/kg)=0.0859 kg
2) Gewichtskraft des rotierenden Granitblockes:
Auf den Granitblock wirkt am Äquator entsprechend seiner Masse von 2,5 kg eine
Erdanziehungskraft von: F=2.5kg*9.81N/kg
F=24.525N
Allerdings wirkt der Erdanziehungskraft die Fliehkraft entgegen.
Daraus folgt: Fges=G-F
Fges=9.81N/kg*2.5kg-0.843N
Fges=24.525N-0.843N
Fges=23.682N
Der Granitblock erfährt eine Kraft von F=23.862N in Richtung Erdmittelpunkt.
Diese entspricht der Gravitationskraft, die auf einen am Äquator ruhenden Körper wirkt,
welcher die Masse m=2.414 kg besitzt.
Rechnung: m=(23.682N/9.81N/kg)=2.414 kg
3) Da die Anziehungskraft der Erde stärker als die Fliehkraft ist, würde auf das virtuelle
Stahlseil überhaupt keine Zugkraft wirken.
Lässt man die Anziehungskraft der Erde außer acht, wirkt auf das virtuelle Stahlseil
eine Zugkraft, die der Fliehkraft entspricht, die auf jeden einzelnen Granitblock wirkt.
F=0.843N
Es ist falsch, die Fliehkraft beider Granitblöcke zu addieren, da der zweite Granitblock
exakt die Gegenkraft für die Fliehkraft des ersten Blockes darstellt.
Daraus folgt, dass es für die Zugkraft keinen Unterschied macht, ob das Seil von dem
zweiten Granitblock gehalten wird oder ob sich der Granitblock an einem virtuellen Seil
der halben Länge, welches am Erdmittelpunkt befestigt ist, am Äquator um die
Erdachse dreht.
4) Fliehkraft des rotierenden Granitblockes
Aufgrund der Länge des Granitblockes (30'000 m) ist der Radius r nicht an jedem Punkt
des Granitblockes gleich. Im ersten Teil war die Varianz vernachlässigbar klein doch
hier muss die Fliehkraft mit dem arithmetischem Mittel des Radius berechnet werden.
Dies ist das arithmetische Mittel aus dem gegebenen äußeren und dem inneren Radius.
r=(6378km+6348km)/2
r=6363km
Masse des Granitblockes: m=2.5kg/dm³*V
m=2'500kg/m³*30'000m³
m=75'000'000kg
Fliehkraft: F=m*v²/r
F=m*(2*pi*r)²/(T²*r)
F=m*4*pi²*r/T²
F=75'000'000kg*4*pi²*6'363'000m/86'400s²
F=2'523'803N
Die auf den rotierenden Granitblock wirkende Fliehkraft beträgt
F=2'523'803N.
Diese Kraft entspricht der Gravitationskraft, die auf einen am Äquator
ruhenden Körper
wirkt, welcher die Masse m=257'268kg besitzt.
Rechnung: m=2'523'803N/(9,81N/kg)=257'268kg
5) Gewicht des ruhenden Granitblockes in Tonnen:
Naheliegende Lösung: m=75'000'000kg
m=75000 tonnen
Nimmt man an, dass sich der Granitblock in einer wie in Aufgabe 4 beschriebenen
Position befindet, allerdings ruhend, dann erhält man eine genauere Lösung, wenn man
auch hier auf die sich mit dem Radius ändernde Gravitationskraft eingeht:
y=6,673*10^(-11) Nm²/(kg²) –> Gravitationskonstante
m1=5,974*10^24 kg –> Masse der Erde
m2=75'000'000 kg –> Masse des Stahlrohrs
Punktuelle Berechnung der Gravitationskraft:
F=y*m1*m2/(r²) -> gilt für jeden kleineren Abschnitt des
Granitblockes.
Berechnung der Gravitationskraft auf einen
länglichen Körper (Integralrechnung):
F=(-1)*y*m1*m2*[(1/r2)-(1/r1)]/(r2-r1) -> beschreibt die Summe der Kräfte, die auf
jeden kleineren Abschnitt des
Granitblockes wirken.
Für r1=6378km und r2=6348km ergibt sich:
F=9,846N/kg*75'000'000kg
F=738'458'635N
Die nötige Masse um diese Gravitationskraft am Äquator zu erzeugen beträgt:
m=F/G=738'458'635N/(9.81N/kg)
m=75'276'109 kg
Die Gewichtskraft, die auf den Granitblock innerhalb der Erdkruste wirkt, entspricht der Gewichtskraft eines Körpers mit der Masse 75'276'109 kg, welcher sich am Äquator befindet.
Dieses Ergebnis beruht darauf, dass sich die Gravitationskraft, die zwei Körper aufeinander auswirken, antiproportional zum Quadrat ihres Abstandes verhält (F~1/r²).